证明 \[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n!)^{2}2^{n+1}}{(2n+1)!}=\pi\] 

 

分析：这道题初看具有难度运用幂级数恐难解决，由分子分母的特性易想到 $\Gamma$函数然后利用$\Gamma$函数与$\beta$函数的关系即可。

 

Proof： 

 \begin{align*}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n!)^{2}2^{n+1}}{(2n+1)!}&=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1}t^{n}(1-t)^{n}2^{n+1}dt\\&=2\int_{0}^{1}\sum_{0}^{\infty}t^{n}(1-t)^{n}2^{n}dt\\&=\int_{0}^{1}\frac{1}{(t-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}}dt\\&=2 \arctan2(t-\frac{1}{2})|_{0}^{1}\\&=\pi\end{align*}  

 

Remark：交换积分与极限的次序用到了 Levi 渐升定理。